Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения

$p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера

$3$ представляет собой квадратную матрицу

$3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}]$ вместо

$A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 1.3.2

Подставим

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо

$I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим

$- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.5

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.6.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.8.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.9

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим

$0$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим

$- 1$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.3

Добавим

$2$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.4

Вычтем

$λ$ из

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.5

Добавим

$0$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & - λ & 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.6

Добавим

$2$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & - λ & 0 \\ 2 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.7

Добавим

$0$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & - λ & 0 \\ 2 & 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.8

Вычтем

$λ$ из

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & - λ & 0 \\ 2 & 0 & - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$2$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Этап 1.5.1.3

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 2 & - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.4

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 2 & - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.5

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.6

Multiply element

$a_{22}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.7

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.1.8

Multiply element

$a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 2 & - λ \end{array} | - λ | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.2

Умножим

$0$ на

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 2 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 - λ | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.3

Умножим

$0$ на

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 - λ | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 - λ ((- 3 - λ) (- λ) - 2 \cdot - 1) + 0$

Этап 1.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 - λ (- 3 (- λ) - λ (- λ) - 2 \cdot - 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$- 3$ .

$p (λ) = 0 - λ (3 λ - λ (- λ) - 2 \cdot - 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 0 - λ (3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot - 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.4.1

Умножим

$λ$ на

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.4.1.1

Перенесем

$λ$ .

$p (λ) = 0 - λ (3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot - 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.4.1.2

Умножим

$λ$ на

$λ$ .

$p (λ) = 0 - λ (3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot - 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.4.2

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$p (λ) = 0 - λ (3 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot - 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.4.3

Умножим

$λ^{2}$ на

$1$ .

$p (λ) = 0 - λ (3 λ + λ^{2} - 2 \cdot - 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.5

Умножим

$- 2$ на

$- 1$ .

$p (λ) = 0 - λ (3 λ + λ^{2} + 2) + 0$

Этап 1.5.4.2.2

Изменим порядок

$3 λ$ и

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} + 3 λ + 2) + 0$

Этап 1.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Объединим противоположные члены в

$0 - λ (λ^{2} + 3 λ + 2) + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.1

Вычтем

$λ (λ^{2} + 3 λ + 2)$ из

$0$ .

$p (λ) = - λ (λ^{2} + 3 λ + 2) + 0$

Этап 1.5.5.1.2

Добавим

$- λ (λ^{2} + 3 λ + 2)$ и

$0$ .

$p (λ) = - λ (λ^{2} + 3 λ + 2)$

Этап 1.5.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = - λ \cdot λ^{2} - λ (3 λ) - λ \cdot 2$

Этап 1.5.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1

Умножим

$λ$ на

$λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.1

Перенесем

$λ^{2}$ .

$p (λ) = - (λ^{2} λ) - λ (3 λ) - λ \cdot 2$

Этап 1.5.5.3.1.2

Умножим

$λ^{2}$ на

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.2.1

Возведем

$λ$ в степень

$1$ .

$p (λ) = - (λ^{2} λ^{1}) - λ (3 λ) - λ \cdot 2$

Этап 1.5.5.3.1.2.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - λ^{2 + 1} - λ (3 λ) - λ \cdot 2$

Этап 1.5.5.3.1.3

Добавим

$2$ и

$1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ (3 λ) - λ \cdot 2$

Этап 1.5.5.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot 3 λ \cdot λ - λ \cdot 2$

Этап 1.5.5.3.3

Умножим

$2$ на

$- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot 3 λ \cdot λ - 2 λ$

Этап 1.5.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.1

Умножим

$λ$ на

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.1.1

Перенесем

$λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot 3 (λ \cdot λ) - 2 λ$

Этап 1.5.5.4.1.2

Умножим

$λ$ на

$λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot 3 λ^{2} - 2 λ$

Этап 1.5.5.4.2

Умножим

$- 1$ на

$3$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным

$0$ , чтобы найти собственные значения

$λ$ .

$- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ = 0$

Этап 1.7

Решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Вынесем множитель

$- λ$ из

$- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.1

Вынесем множитель

$- λ$ из

$- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - 3 λ^{2} - 2 λ = 0$

Этап 1.7.1.1.2

Вынесем множитель

$- λ$ из

$- 3 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (3 λ) - 2 λ = 0$

Этап 1.7.1.1.3

Вынесем множитель

$- λ$ из

$- 2 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (3 λ) - λ \cdot 2 = 0$

Этап 1.7.1.1.4

Вынесем множитель

$- λ$ из

$- λ (λ^{2}) - λ (3 λ)$ .

$- λ (λ^{2} + 3 λ) - λ \cdot 2 = 0$

Этап 1.7.1.1.5

Вынесем множитель

$- λ$ из

$- λ (λ^{2} + 3 λ) - λ (2)$ .

$- λ (λ^{2} + 3 λ + 2) = 0$

Этап 1.7.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1

Разложим

$λ^{2} + 3 λ + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1.1

Рассмотрим форму

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

$c$ , а сумма —

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

$2$ , а сумма —

$3$ .

$1, 2$

Этап 1.7.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- λ ((λ + 1) (λ + 2)) = 0$

Этап 1.7.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- λ (λ + 1) (λ + 2) = 0$

Этап 1.7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

$0$ , все выражение равно

$0$ .

$λ = 0$

$λ + 1 = 0$

$λ + 2 = 0$

Этап 1.7.3

Приравняем

$λ$ к

$0$ .

$λ = 0$

Этап 1.7.4

Приравняем

$λ + 1$ к

$0$ , затем решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Приравняем

$λ + 1$ к

$0$ .

$λ + 1 = 0$

Этап 1.7.4.2

Вычтем

$1$ из обеих частей уравнения.

$λ = - 1$

Этап 1.7.5

Приравняем

$λ + 2$ к

$0$ , затем решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Приравняем

$λ + 2$ к

$0$ .

$λ + 2 = 0$

Этап 1.7.5.2

Вычтем

$2$ из обеих частей уравнения.

$λ = - 2$

Этап 1.7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых

$- λ (λ + 1) (λ + 2) = 0$ верно.

$λ = 0, - 1, - 2$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим

$0$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим

$0$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим

$0$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.3

Умножим

$0$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.4

Умножим

$0$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.5

Умножим

$0$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.6

Умножим

$0$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.7

Умножим

$0$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.8

Умножим

$0$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.9

Умножим

$0$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} - 3 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Добавим

$- 3$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.2

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.3

Добавим

$- 1$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.4

Добавим

$2$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.5

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.6

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.7

Добавим

$2$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.8

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.9

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when

$λ = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{3}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{3}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 1 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 (\frac{1}{3}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 (\frac{1}{3}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{3}{2}$ to make the entry at

$2, 3$ a

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{3}{2}$ to make the entry at

$2, 3$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} (- \frac{2}{3}) & - \frac{3}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.5

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at

$3, 3$ a

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at

$3, 3$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.5.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.6

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at

$1, 3$ a

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.6.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at

$1, 3$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.6.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ y \\ 0 \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y \in R}$

Этап 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Этап 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} - 3 + 1 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим

$- 3$ и

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.2

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.3

Добавим

$- 1$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 0 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.4

Добавим

$2$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.5

Добавим

$0$ и

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.6

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.7

Добавим

$2$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.8

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.9

Добавим

$0$ и

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.3

Find the null space when

$λ = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{2}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{2}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{2} z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ z \\ z \end{array}]$

Этап 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 5

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим

$2$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Умножим

$2$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.2

Умножим

$2$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.3

Умножим

$2$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.4

Умножим

$2$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.5

Умножим

$2$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.6

Умножим

$2$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.7

Умножим

$2$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.8

Умножим

$2$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.9

Умножим

$2$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Этап 5.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} - 3 + 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Добавим

$- 3$ и

$2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.2

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.3

Добавим

$- 1$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 0 + 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.4

Добавим

$2$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 + 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.5

Добавим

$0$ и

$2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.6

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.7

Добавим

$2$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.8

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.9

Добавим

$0$ и

$2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{array}]$

Этап 5.3

Find the null space when

$λ = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - - 1 & - 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & - 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & - 2 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.3.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$\frac{1}{2}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$\frac{1}{2}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{- 2}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.4.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Этап 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ z \\ z \end{array}]$

Этап 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Этап 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 6

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$